Exercício Resolvido
Álgebra Linear - Transformações Lineares - UNICAMP
Considere o operador linear $T: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \to M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definido por:
$$
T \left( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2a + b & 2b \\ 2c & 3d \end{bmatrix}.
$$
Considerando $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ com a base canônica $\mathfrak{B} = \{P_1, P_2, P_3, P_4\}$, aonde
$$
P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ P_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ P_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ \text{e} \ P_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
$$
(i) Determine a matriz $[T]_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}$.
Considere o operador linear T: M2times 2(R) → M2times 2(R) definido por:
T ( beginbmatrix a b c d endbmatrix ) = beginbmatrix 2a + b 2b 2c 3d endbmatrix.
Considerando M2times 2(R) com a base canônica mathfrakB = P1, P2, P3, P4, aonde
P1 = beginpmatrix 1 0 0 0 endpmatrix, P2 = beginpmatrix 0 1 0 0 endpmatrix, P3 = beginpmatrix 0 0 1 0 endpmatrix texte P4 = beginpmatrix 0 0 0 1 endpmatrix.
(i) Determine a matriz TmathfrakB^mathfrakB.
(ii) Mostrar que T é um isomorfismo.
(iii) Encontre a expressão da aplicação inversa T^-1A, para toda matriz A in M2(R).
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