Considere fixada uma base ortonormal para o espaço $\mathbb{V}^3$. Usando corretamente as notações e exibindo as fórmulas utilizadas, calcule:
a) O cosseno do ângulo entre os vetores $\vec{w} = (2, \sqrt{3}, 1)$ e $\vec{z} = (-1, \sqrt{3}, 1)$.
b) O produto vetorial $\vec{u} \times \vec{v}$, onde $\vec{u} = (2, 1, 2)$ e $\vec{v} = (1, 1, 0)$.
c) A projeção ortogonal de $\vec{u} = (-2, 1, 3)$ sobre $\vec{v} = (-1, 1, -2)$.
d) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $\vec{u} = (-1, -1, -3)$, $\vec{v} = (2, -1, 5)$, $\vec{w} = (4, -3, 1)$.